система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что
Примеры. Тригонометрическая
система 1,
cos nx, sin
nx;
n = 1, 2,..., - О. с. ф. с весом 1 на отрезке [-π, π].
Бесселя функции , где
n = 1, 2,...,
- положительные нули
Jν(
x), образуют для каждого ν > -
1/
2 О. с. ф. с весом
х на отрезке [0,
l ].
Если каждая функция φ (
х) из О. с. ф. такова, что
(условие нормированности), то такая
система функций называется нормированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив φ (
х) на число
- нормирующий множитель.
Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи (См.
Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(
х)
у' ]
' +
q (
x)
y = λ
у, удовлетворяющих граничным условиям
у (
а) +
hy'(
a) = 0,
y (
b) +
Hy' (
b) = 0, где
h и
Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом ρ (
х) на отрезке [
a,
b ].
Чрезвычайно важный класс О. с. ф. -
Ортогональные многочлены - был открыт П. Л.
Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.- задача о разложении функции
f (
x) в ряд вида
, где {φ
п (
х)} - О. с. ф. Если положить формально
, где {φ
п (
х)} - нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φ
п (
х) ρ(
х) и интегрируя от
а до
b, получим:
(*)
Коэффициенты
Сп , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φ
n (
x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма
наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом ρ(
х):
(*)
имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же
n другими линейными выражениями вида
. Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя
Ряд ∑
∞n=1Cnφn(x) с коэффициентами
Сп , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции
f (
x) по нормированной О. с. ф. {φ
n (
x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция
f (
x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция
f (
x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями
функций φ
k (
x), то есть
в этом случае говорят, что ряд ∑
∞n=1Cnφn(x) сходится в среднем к функции
f (
x)]. 2) Для всякой функции
f (
x), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(
х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:
3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям φn (x), n = 1, 2,....
Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См.
Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. - разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.